Manual de Usuario de Dr. Geo -- Teoremas y conjeturas

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## Teoremas y conjeturas

Los scripts Scheme permiten no sólo resolver ejercicios, sino también comprender mejor el enunciado de los teoremas (y las hipótesis de los mismos) asi como corroborar o descartar conjeturas.

En esta sección comenzaremos analizando el enunciado del Teorema de Ptolomeo :

Dado un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de las diagonales.

Podemos construir la figura con DR. GEO como abajo :

Teorema de Ptolomeo: cuadrilátero convexo

En la figura, hemos implementado dos scripts que calculan, respectivamente, la suma del producto de los lados opuestos, y el producto de las diagonales.

El primer script es el siguiente :

    (define AB (getLength a1))
    (define DC (getLength a2))
    (define BC (getLength a3))
    (define AD (getLength a4))
    (+ (* AB DC )(* BC AD ))

El segundo script es .

    (define DB (getLength a1))
    (define AC (getLength a2))
    (* DB AC )

Como podemos ver, los valores devueltos por los dos scripts, en conformidad con el Teorema de Ptolomeo, son iguales 16. Cuando modificamos dinámicamente la figura, los valores de los scripts son idénticos, salvo en el caso siguiente :

Teorema de Ptolomeo: cuadrilátero no convexo

Vemos en la figura que el cuadrilátero ya no es convexo.

En este caso el enunciado del Teorema es falso. Por lo tanto, para contemplar ese caso, debemos reformular el enunciado como sigue :

Dado un cuadrilátero CONVEXO inscrito en una circunferencia, la suma del producto de lados opuestos es igual al producto de las diagonales..

En este momento las conjeturas aparecen de modo natural : ¿es acaso valida la conclusión del teorema de Ptolomeo también valida para un cuadrilátero convexo no inscrito en un círculo ?(i.e. ¿es cierto el recíproco?)

Con DR. GEO podemos ver que dicha conjetura es falsa como muestra la figura siguiente :

Refutación de la conjetura

El lector no tendrá problemas en utilizar DR. GEO para la construcción de ejemplos didácticos, relacionados probablemente con teoremas más conocidos, como el Teorema de Pitágoras o alguno de los teoremas de Euclides.

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