Indicatrice d’Euler : euler Phi

### 6.7.29 Indicatrice d’Euler : euler Phi

euler (ou Phi) désigne l’indicatrice d’Euler d’un entier.
euler(n) (ou Phi(n)) est égale au cardinal de l’ensemble des nombres inférieurs à n qui sont premiers avec n.
On tape :

euler(21)

On obtient :

12

En effet l’ensemble :
E={2,4,5,7,8,10,11,13,15,16,17,19} correspond aux nombres inférieurs à 21 qui sont premiers avec 21, et E a comme cardinal 12.
Euler a introduit cette fonction pour formuler la généralisation du petit théorème de Fermat qui dit "si n est premier et si a est premier avec n alors an−1=1 mod n". La généralisation est (puisque si n est premier, euler(n)=n−1 ):

aeuler(n)=1 mod n si a et n sont premiers entre eux.

On tape :

powmod(5,12,21)

On obtient :

1